Уравнение Льенара

Уравнение Лиенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Лиенара.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] — две гладкие функции в пространстве [math]\displaystyle{ R^3 }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ g }[/math] — нечётная функция, а [math]\displaystyle{ f }[/math] — чётная. Тогда уравнение вида

[math]\displaystyle{ {d^2x \over dt^2}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0 }[/math]

называется уравнением Лиенара.

Кроме того, уравнение Лиенара можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену [math]\displaystyle{ v = {dx \over dt} }[/math]. Тогда уравнение Лиенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: [math]\displaystyle{ v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0 }[/math]

Примеры

• Осциллятор Ван дер Поля [math]\displaystyle{ {d^2x \over dt^2} - \mu (1-x^2) {dx \over dt} + x= 0 }[/math] имеет вид уравнения Лиенара при [math]\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} f(x)=\mu(1-x^2) \\ g(x)=x \end{matrix} \right. }[/math].

Связанные определения

Система Лиенара

Уравнение Лиенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

[math]\displaystyle{ F(x) := \int_0^x f(\xi) d\xi }[/math];

[math]\displaystyle{ x_1:= x }[/math];

[math]\displaystyle{ x_2:={dx \over dt} + F(x) }[/math].

Тогда система вида

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{h}(x_1, x_2) := \begin{bmatrix} x_2 - F(x_1) \\ -g(x_1) \end{bmatrix} }[/math]

называется системой Лиенара.

Теорема Лиенара

Система Лиенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам:

• [math]\displaystyle{ g(x)\gt 0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math];
• [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) := \lim_{x \to \infty} \int_0^x f(\xi) d\xi\ = \infty; }[/math]
• [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] имеет только один положительный корень при некотором значении параметра [math]\displaystyle{ p }[/math], причём

[math]\displaystyle{ F(x)\lt 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt p }[/math] и

[math]\displaystyle{ F(x)\gt 0 }[/math] и монотонна при [math]\displaystyle{ x\gt p }[/math].

См. также

• Осциллятор